3D是国内一种常见彩票游戏,它的规则非常简单,就是从0-9这10个数字中选出3个数字作为中奖号码,顺序不限,如果选中的号码与中奖号码一致,则中奖。那么在3D中有多少对子呢?
首先,我们要明确一下“对子”的概念,就是所选的3个数字中有2个数字相同,例如“112”、“223”、“445”等。由于顺序不限,所以“112”和“211”算作同一对。
接下来,我们可以通过组合的方法来计算3D中所有的对子。因为每个数字的选择范围是0-9,所以第一位数字有10种选择,第二位数字也有10种选择,第三位数字同样有10种选择。所以,一共有$10\times10\times10=1000$种可能的中奖号码。
接下来,我们分别来计算有1对、2对和3对的情况:
1. 有1对数字相同的情况
在每组中,有1位数字与另外2位不同,那我们可以先确定相同的数字,再选择其他2个数字。因为相同数字有3种选择(0-9中任意1个数字),另外2个数字有$\binom{9}{2} = 36$种选择。因此,一共有$3\times36 = 108$种1对数字相同的情况。
2. 有2对数字相同的情况
在每组中,有2位数字相同,另外1位数字不同,那我们可以先确定相同的两个数字,再选择另外一个数字。因为有$\binom{10}{2} = 45$种选择相同的2个数字,另外1个数字有8种选择(除了2个相同数字以外的8个数字中任意选择1个)。因此,一共有$45\times8 = 360$种2对数字相同的情况。
3. 有3对数字相同的情况
在每组中,有3个数字相同,那么我们只需要从0-9中选择1个数字作为中奖号码即可,因此一共有10种情况。
综上,3D中一共有$108+360+10=478$对数字相同的中奖号码。
需要注意的是,对于3D中有一些特殊的中奖情况,比如豹子(3个数字都相同)、顺子(3个数字连续)等,这些情况不属于“对子”,因此在上述计算中没有包括。